700 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°. Пусть катет BC = b, а противолежащий ему угол A = α. Тогда противолежащий катет для угла B будет AC, и наоборот. По условию, один катет равен b, и противолежащий ему угол равен β. Это значит, что если катет равен b, то противолежащий ему угол не β, а угол, противолежащий катету b — это α. Значит, β — угол, противолежащий другому катету (AC).

а) Выражение через b и β:

1. Другой катет (AC):
   Мы знаем, что tg β = противолежащий катет / прилежащий катет = AC / b.
   Отсюда, AC = b * tg β.
2. Противолежащий ему угол (α):
   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Значит, α + β = 90°.
   Отсюда, α = 90° - β.
3. Гипотенуза (AB):
   Мы знаем, что sin β = противолежащий катет / гипотенуза = AC / AB.
   AB = AC / sin β = (b * tg β) / sin β = (b * (sin β / cos β)) / sin β = b / cos β.

б) Значения при b = 10 см, β = 50°:

1. Другой катет (AC):
   AC = b * tg β = 10 * tg 50°.
2. Противолежащий ему угол (α):
   α = 90° - β = 90° - 50° = 40°.
3. Гипотенуза (AB):
   AB = b / cos β = 10 / cos 50°.

Ответ:

• а) Другой катет: b * tg β, противолежащий ему угол: 90° - β, гипотенуза: b / cos β.
• б) При b = 10 см, β = 50°: Другой катет ≈ 10 * 1.1918 = 11.92 см, угол α = 40°, гипотенуза ≈ 10 / 0.6428 = 15.56 см.