701 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть катет AC = b, а прилежащий к нему угол A = α. Тогда противолежащий катет для угла α будет BC, и наоборот. По условию, один катет равен b, и прилежащий к нему угол равен α. Значит, b — это прилежащий катет к углу α.

а) Выражение через b и α:

1. Второй катет (BC):
   Мы знаем, что tg α = противолежащий катет / прилежащий катет = BC / b.
   Отсюда, BC = b * tg α.
2. Прилежащий к нему острый угол:
   Прилежащий угол к катету BC — это угол B. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Значит, α + B = 90°.
   Отсюда, B = 90° - α.
3. Гипотенуза (AB):
   Мы знаем, что cos α = прилежащий катет / гипотенуза = b / AB.
   Отсюда, AB = b / cos α.

б) Значения при b = 12 см, α = 42°:

1. Второй катет (BC):
   BC = b * tg α = 12 * tg 42°.
2. Прилежащий к нему острый угол (B):
   B = 90° - α = 90° - 42° = 48°.
3. Гипотенуза (AB):
   AB = b / cos α = 12 / cos 42°.

Ответ:

• а) Второй катет: b * tg α, прилежащий к нему острый угол: 90° - α, гипотенуза: b / cos α.
• б) При b = 12 см, α = 42°: Второй катет ≈ 12 * 0.9004 = 10.81 см, угол B = 48°, гипотенуза ≈ 12 / 0.7431 = 16.15 см.