7. (1 балл) Вычислите значение выражения log₄ log₁₁ 196 + 25^log₂₅ √5

Решение:

Вычислим каждую часть выражения отдельно.

Часть 1: \( \log_4 \log_{11} 196 \)

Сначала найдём \( \log_{11} 196 \). Это логарифм числа 196 по основанию 11. Так как \( 11^2 = 121 \) и \( 11^3 = 1331 \), то \( \log_{11} 196 \) не является целым числом. Похоже, в условии есть опечатка. Предположим, что должно быть \( \log_{11} 121 \).

Если \( \log_{11} 121 \), то \( \log_{11} 11^2 = 2 \).

Тогда первая часть выражения будет: \( \log_4 2 \).

\( \log_4 2 = y \) означает \( 4^y = 2 \). Так как \( 4 = 2^2 \), то \( (2^2)^y = 2^1 \), \( 2^{2y} = 2^1 \), \( 2y = 1 \), \( y = \frac{1}{2} \).

Часть 2: \( 25^{\log_{25} \sqrt{5}} \)

Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).

Здесь \( a=25 \) и \( b=\sqrt{5} \). Поэтому:

\( 25^{\log_{25} \sqrt{5}} = \sqrt{5} \).

Суммируем части:

\( \frac{1}{2} + \sqrt{5} \).

Примечание: Если в исходном условии вместо 196 было 121, то ответ \(\frac{1}{2} + \sqrt{5}\). Если 196 — это правильное число, то решение без калькулятора невозможно.

Предполагаемый ответ (с исправлением в условии): \(\frac{1}{2} + \sqrt{5}\).