№ 7. (1б.) Постройте график функции \(y=-x^2-4x+5\) и найдите: а) область определения и область значений функции; б) наибольшее и наименьшее значение функции; в) нули функции; г) промежутки возрастания и убывания; д) промежутки знакопостоянства.

Выделим квадрат двучлена: \(y=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9\). Значит, график — парабола с вершиной \((-2;9)\), ветви направлены вниз.

Для построения отметим вершину, нули и пересечение с осью \(y\): вершина \((-2;9)\), нули \((-5;0)\) и \((1;0)\), пересечение с осью \(y\) — \((0;5)\).

1. Область определения: \(D(f)=\mathbb{R}\), так как функция задана многочленом. Поскольку максимум параболы равен 9, область значений: \(E(f)=(-\infty;9]\).
2. Наибольшее значение функции — 9 при \(x=-2\). Наименьшего значения нет: при удалении от вершины значения функции неограниченно убывают.
3. Нули найдём из уравнения \(-(x+2)^2+9=0\): \((x+2)^2=9\), откуда \(x=-5\) и \(x=1\).
4. До вершины функция возрастает, после вершины убывает: возрастает на \((-;-2]\), убывает на \([-2;+)\).
5. Парабола направлена вниз и пересекает ось \(x\) в точках \(-5\) и \(1\). Поэтому функция положительна на \((-5;1)\), отрицательна на \((-;-5)\cup(1;+)\), равна нулю при \(x=-5\) и \(x=1\).