7. (2 балла) Решите неравенство $$\frac{2x^2-5x}{x-3} \le x$$

Решение:

1. Перенесем \( x \) в левую часть неравенства:

$$ \frac{2x^2-5x}{x-3} - x \le 0 $$

1. Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{2x^2-5x - x(x-3)}{x-3} \le 0 $$

1. Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ \frac{2x^2-5x - x^2+3x}{x-3} \le 0 $$

1. $$ \frac{x^2-2x}{x-3} \le 0 $$
2. Выделим корни числителя и знаменателя:

$$ x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2 $$$$ x-3 = 0 \Rightarrow x_3=3 $$

1. Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки интервалов:

[-inf; 0] U [2; 3)

Проверим знаки на интервалах:

• \( x < 0 \): \( \frac{(-)(-) }{ (-)} = (-) \le 0 \) (подходит)
• \( 0 < x < 2 \): \( \frac{(+)(-) }{ (-)} = (+) \) (не подходит)
• \( 2 < x < 3 \): \( \frac{(+)(+) }{ (-)} = (-) \le 0 \) (подходит)
• \( x > 3 \): \( \frac{(+)(+) }{ (+)} = (+) \) (не подходит)

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [2; 3) \)