7.2. Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции возрастают: 1) y = 9 + 2x; 2) y = 6x + 1; 3) y = −8 + 4x; 4) y = 0,5x − 3; 5) y = x³ + 3; 6) y = 0,2x³; 7) y = −5 + x³; 8) y = x³ − 1.

Перевод задания: Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции возрастают.

Пусть x₁ < x₂. Тогда для линейных функций разность значений равна k(x₂ − x₁), где k — коэффициент при x. Для функций с x³ используем, что кубическая функция возрастает: x₁³ < x₂³.

1. y₂ − y₁ = 2(x₂ − x₁) > 0, поэтому функция возрастает.
2. y₂ − y₁ = 6(x₂ − x₁) > 0, поэтому функция возрастает.
3. y₂ − y₁ = 4(x₂ − x₁) > 0, поэтому функция возрастает.
4. y₂ − y₁ = 0,5(x₂ − x₁) > 0, поэтому функция возрастает.
5. Из x₁³ < x₂³ следует x₁³ + 3 < x₂³ + 3.
6. Из x₁³ < x₂³ следует 0,2x₁³ < 0,2x₂³, поскольку 0,2 > 0.
7. Из x₁³ < x₂³ следует x₁³ − 5 < x₂³ − 5.
8. Из x₁³ < x₂³ следует x₁³ − 1 < x₂³ − 1.