7.3. Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции возрастают: 1) y = x² − 4, где x ≥ 2; 2) y = −x² + 2, где x ≤ −3; 3) y = −4/x, где x ≤ −4; 4) y = −3/x, где x ≥ 3.

Перевод задания: Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции возрастают на указанных промежутках.

Во всех пунктах возьмём x₁ < x₂ из заданного промежутка и сравним значения функции.

1. y₂ − y₁ = (x₂² − 4) − (x₁² − 4) = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁). Здесь x₂ − x₁ > 0 и x₂ + x₁ ≥ 4 > 0. Значит, y₂ − y₁ > 0.
2. y₂ − y₁ = (−x₂² + 2) − (−x₁² + 2) = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂). Здесь x₁ − x₂ < 0, а x₁ + x₂ ≤ −6 < 0. Значит, y₂ − y₁ > 0.
3. y₂ − y₁ = −4/x₂ + 4/x₁ = 4(x₂ − x₁)/(x₁x₂). Числитель положителен, знаменатель положителен, поэтому y₂ − y₁ > 0.
4. y₂ − y₁ = −3/x₂ + 3/x₁ = 3(x₂ − x₁)/(x₁x₂). Числитель и знаменатель положительны, поэтому y₂ − y₁ > 0.