7.5. Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции убывают: 1) y = x² − 9, где x ≤ −2; 2) y = −x² + 4, где x ≥ 3; 3) y = 5/x, где x ≥ 5; 4) y = 2/x, где x ≤ −4.

Перевод задания: Докажите, используя свойства неравенств между действительными числами, что данные функции убывают на указанных промежутках.

Возьмём x₁ < x₂ из соответствующего промежутка и сравним значения.

1. y₂ − y₁ = x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁). Здесь x₂ − x₁ > 0, а x₂ + x₁ ≤ −4 < 0. Следовательно, y₂ − y₁ < 0.
2. y₂ − y₁ = −x₂² + x₁² = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂). Здесь x₁ − x₂ < 0, а x₁ + x₂ ≥ 6 > 0. Следовательно, y₂ − y₁ < 0.
3. y₂ − y₁ = 5/x₂ − 5/x₁ = −5(x₂ − x₁)/(x₁x₂). Числитель дроби отрицателен, знаменатель положителен, поэтому y₂ − y₁ < 0.
4. y₂ − y₁ = 2/x₂ − 2/x₁ = −2(x₂ − x₁)/(x₁x₂). Числитель отрицателен, знаменатель положителен, поэтому y₂ − y₁ < 0.