7.24. Докажите, что при любом натуральном значении n значение дроби не является целым числом: 1) (n² + n + 1)/(n + 1); 2) (n³ − 2n² + n − 1)/(n² + 1).

Разделим числитель на знаменатель: \(\dfrac{n^2+n+1}{n+1}=n+\dfrac{1}{n+1}\). При натуральном \(n\) дробь \(\dfrac{1}{n+1}\) положительна и меньше 1, поэтому всё выражение не является целым числом.

\(n^3-2n^2+n-1=(n-2)(n^2+1)+1\), поэтому \(\dfrac{n^3-2n^2+n-1}{n^2+1}=n-2+\dfrac{1}{n^2+1}\). При натуральном \(n\) дробная часть положительна и меньше 1; выражение не целое.