7. [3 балла] Дан треугольник ABC. На луче BA за пределами треугольника взяли точку K, а на стороне BC — точку M. Докажите, что отрезок KM пересекает сторону AC.

Точка K лежит на продолжении стороны BA за точку A, а M — на стороне BC. Рассмотрим треугольник BKC. Точки A и M лежат соответственно на сторонах BK и BC, причём A находится между B и K, а M — на BC. Отрезок AC соединяет точки этих двух сторон, а KM — точка K с точкой M.

В треугольнике BKC отрезки AC и KM соединяют точки на двух сторонах: A находится на BK, M на BC; но оба отрезка имеют общую точку на BC только при M? Поэтому удобнее рассмотреть стороны треугольника KBC: A лежит на KB, M лежит на BC. Отрезок AC соединяет A с C, а KM соединяет K с M. Эти отрезки являются противоположными сторонами четырёхугольника KAMC и пересекаются внутри него, поскольку K, A, B расположены на одной прямой, а M, B, C — на другой; для полного доказательства требуется, чтобы M не совпадала с B и A не совпадала с K.

Если M совпадает с B, пересечение KM с AC не следует из условия; следовательно, в буквальном виде утверждение требует, чтобы M была отлична от B.