7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение: а) $\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t$; б) $\dfrac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}$; в) $\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t$; г) $\dfrac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение: а)…$ Фото задания

7.6 Докажите, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение: а) $\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t$; б) $\dfrac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}$; в) $\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t$; г) $\dfrac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}$.

Accepted Answer

Используем основное тождество $\sin^2 t+\cos^2 t=1$.

а) $\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t=(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)+2\cos^2 t=\sin^2 t-\cos^2 t+2\cos^2 t=1$.
б) $\dfrac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}=\dfrac{2-1}{3\cdot1}=\dfrac13$. Знаменатель равен 3 и не обращается в ноль.
в) $\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t=(\sin^2 t+\cos^2 t)^2=1$.
г) При условии $\sin^2 t\ne\cos^2 t$: $\dfrac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}=\dfrac{(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)}{\sin^2 t-\cos^2 t}=1$.

Ответ: а) 1; б) $\dfrac13$; в) 1; г) 1.