7. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано:

• △ABC — равнобедренный, AB = BC.

Доказать:

• ∠A = ∠C

Доказательство:

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Значит:

1. AH = HC (высота является медианой)
2. ∠AHB = ∠CHB = 90^° (высота перпендикулярна основанию)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: △ABH и △CBH.

У них:

• AB = BC (по условию, так как треугольник равнобедренный)
• BH — общая сторона.
• ∠AHB = ∠CHB = 90^°

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (AB = BC и BH — общий катет), △ABH = △CBH.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A = ∠C.

Что и требовалось доказать.