7. Докажите, что выражение $$x^2 - 14x + 51$$ принимает положительные значения при всех значениях $$x$$.

1. Выделим полный квадрат: $$x^2 - 14x + 51 = (x^2 - 14x + 49) + 2 = (x-7)^2 + 2$$
2. Так как $$(x-7)^2 \ge 0$$ для любого действительного $$x$$, то $$(x-7)^2 + 2 \ge 2$$.
3. Следовательно, выражение всегда положительно. Доказано.