7. Докажите, что значение выражения √(10m − 3), где m ∈ N, не может быть натуральным числом.

Предположим, что значение выражения — натуральное число n. Тогда n² = 10m − 3, откуда n² ≡ 7 (mod 10).

Однако квадрат целого числа при делении на 10 может иметь остаток только 0, 1, 4, 5, 6 или 9 — остатка 7 среди них нет. Получили противоречие. Следовательно, √(10m − 3) не может быть натуральным числом.