7. Докажите, что значение выражения √(10m − 3), где m ∈ ℕ, не может быть натуральным числом.

Предположим, что √(10m − 3) — натуральное число n. Тогда n² = 10m − 3, откуда n² ≡ −3 ≡ 7 (mod 10).

Однако квадраты целых чисел при делении на 10 могут иметь только остатки 0, 1, 4, 5, 6 или 9: это квадраты чисел, оканчивающихся соответственно на 0–9. Остаток 7 невозможен.

Получили противоречие. Следовательно, при натуральном m выражение √(10m − 3) не может быть натуральным числом.