№7. Докажите независимость дроби, где к — натуральное число: (2·3^(2к+1)+3^(4к+1))/((3^(2к)+2)·5·3^(2к)).

Вынесем общие множители в числителе:

\[2\cdot3^{2к+1}+3^{4к+1}=2\cdot3\cdot3^{2к}+3\cdot3^{4к}=3\cdot3^{2к}(2+3^{2к}).\]

Тогда:

\[\frac{2\cdot3^{2к+1}+3^{4к+1}}{(3^{2к}+2)\cdot5\cdot3^{2к}}=\frac{3\cdot3^{2к}(2+3^{2к})}{(3^{2к}+2)\cdot5\cdot3^{2к}}=\frac{3}{5}.\]

Все множители, содержащие переменную \(к\), сократились, поэтому дробь не зависит от значения \(к\).

Ответ: \(\frac{3}{5}\).