7. Докажите тождество: 6/(a² − 6a) − a²/(6 − a) = a + 6 + (36a + 6)/(a² − 6a).

ОДЗ: \(a\ne0\), \(a\ne6\).

Преобразуем левую часть, учитывая, что \(a^2-6a=a(a-6)\), а \(6-a=-(a-6)\):

\[\frac{6}{a(a-6)}-\frac{a^2}{6-a}=\frac{6}{a(a-6)}+\frac{a^2}{a-6}.\]

Приведём к знаменателю \(a(a-6)\):

\[\frac{6}{a(a-6)}+\frac{a^3}{a(a-6)}=\frac{a^3+6}{a(a-6)}.\]

Преобразуем правую часть:

\[a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}=\frac{(a+6)a(a-6)+36a+6}{a(a-6)}.\]

Так как \((a+6)a(a-6)=a^3-36a\), получаем:

\[\frac{a^3-36a+36a+6}{a(a-6)}=\frac{a^3+6}{a(a-6)}.\]

Левая и правая части равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано при \(a\ne0\) и \(a\ne6\).