7. Докажите тождество $\frac{6}{a^2-6a}-\frac{a^2}{6-a}=a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Докажите тождество $\frac{6}{a^2-6a}-\frac{a^2}{6-a}=a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Ограничения: $a\ne0$, $a\ne6$.

Преобразуем левую часть, учитывая, что $6-a=-(a-6)$:

\[\frac{6}{a(a-6)}-\frac{a^2}{6-a}=\frac{6}{a(a-6)}+\frac{a^2}{a-6}.\]

Приведём к общему знаменателю $a(a-6)$:

\[\frac{6+a^3}{a(a-6)}.\]

Преобразуем правую часть:

\[a+6+\frac{36a+6}{a(a-6)}=\frac{(a+6)a(a-6)+36a+6}{a(a-6)}.\]

Раскроем скобки:

\[\frac{a(a^2-36)+36a+6}{a(a-6)}=\frac{a^3-36a+36a+6}{a(a-6)}=\frac{a^3+6}{a(a-6)}.\]

Левая и правая части равны одному и тому же выражению, поэтому тождество доказано.

7. Докажите тождество \(\frac{6}{a^2-6a}-\frac{a^2}{6-a}=a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}\).