7. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АМ и АК (М и К — точки касания). Найдите МАК, если ZOMK = 24°.

Задание 7. Касательные к окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные AM и AK к окружности.
• Точки касания M и K.
• \( ∠OMK = 24^\circ \).

Найти: \( ∠MAK \).

Решение:

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( ∠AMO = 90^\circ \) и \( ∠AKO = 90^\circ \).
2. Рассмотрим треугольник OMK. Так как OM и OK — радиусы окружности, то \( OM = OK \). Треугольник OMK — равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике OMK углы при основании равны: \( ∠OMK = ∠OKM = 24^\circ \).
4. Сумма углов в треугольнике OMK равна \( 180^\circ \). Найдем \( ∠MOK \):
• \( ∠MOK = 180^\circ - (\u2220OMK + \u2220OKM) = 180^\circ - (24^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ \).
5. Рассмотрим четырехугольник AMOK. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^\circ \).
6. \( ∠MAK + ∠AMO + ∠MOK + ∠AKO = 360^\circ \)
7. \( ∠MAK + 90^\circ + 132^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
8. \( ∠MAK + 312^\circ = 360^\circ \)
9. \( ∠MAK = 360^\circ - 312^\circ = 48^\circ \).
10. Альтернативное решение:
11. Рассмотрим треугольник AMO. Он прямоугольный (\( ∠AMO = 90^\circ \)).
12. В равнобедренном треугольнике AOK, AM=AK (свойство касательных, проведенных из одной точки). Треугольник AOM и треугольник AOK равны по гипотенузе и катету (AO — общая гипотенуза, OM=OK — катеты).
13. Значит, AO является биссектрисой угла MAK и угла MOK.
14. \( ∠MAO = ∠KAO \) и \( ∠M AO = ∠KAO \).
15. \( ∠OAM = 90^\circ - \u2220AOM \)
16. \( ∠OMK = 24^\circ \).
17. В треугольнике OMK, \( ∠MOK = 180^\circ - 2 × 24^\circ = 132^\circ \).
18. \( ∠MAK = 180^\circ - (90^\circ + 90^\circ) - ∠MOK = 360^\circ - 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \).
19. \( ∠MAO = ∠MAK / 2 = 48^\circ / 2 = 24^\circ \).
20. В прямоугольном треугольнике AMO: \( ∠MAO = 90^\circ - ∠AOM \).
21. \( ∠AOM = ∠MOK / 2 = 132^\circ / 2 = 66^\circ \).
22. \( ∠MAO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \).
23. \( ∠MAK = 2 × ∠MAO = 2 × 24^\circ = 48^\circ \).

Ответ: 48°.