7. Из точки М, лежащей на окружности с центром О, опущен перпендикуляр МК на диаметр CD. Найдите длины хорд DM и СМ и перпендикуляра МК, если известно, что DK = 9, CK = 16.

Решение:

CD — диаметр окружности. DK = 9, CK = 16. Тогда диаметр CD = DK + CK = 9 + 16 = 25.

Радиус окружности \( R = \frac{CD}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \).

MK ⊥ CD, значит MK — высота прямоугольного треугольника CMD, проведенная к гипотенузе (так как угол CMD опирается на диаметр, он равен 90°).

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

\[ MK^2 = DK \cdot CK \]\[ MK^2 = 9 \cdot 16 \]\[ MK^2 = 144 \]\[ MK = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Теперь найдем длины хорд DM и CM, используя теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках DMK и CMK.

В треугольнике DMK:

\[ DM^2 = DK^2 + MK^2 \]\[ DM^2 = 9^2 + 12^2 \]\[ DM^2 = 81 + 144 \]\[ DM^2 = 225 \]\[ DM = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

В треугольнике CMK:

\[ CM^2 = CK^2 + MK^2 \]\[ CM^2 = 16^2 + 12^2 \]\[ CM^2 = 256 + 144 \]\[ CM^2 = 400 \]\[ CM = \sqrt{400} = 20 \text{ см} \]

Ответ: DM = 15 см, CM = 20 см, MK = 12 см.