7. К окружности с центром О провели касательную АВ (В — точка касания). Найдите радиус окружности, если АВ = 7 см и ∠AOB = 45°

Привет! Давай решим эту задачу с окружностью.

1. Что нам известно:

• Окружность с центром O.
• AB — касательная к окружности в точке B.
• Длина отрезка AB = 7 см.
• Угол \(\\text{AOB} = 45^\text{o}\).

2. Что нужно найти:

Радиус окружности (длину отрезка OB).

3. Важное свойство касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что угол между касательной AB и радиусом OB равен 90°.

\(\\text{Угол} \\text{ABO} = 90^\text{o}\)

4. Рассмотрим треугольник ABO:

Этот треугольник является прямоугольным, так как у него есть прямой угол \(\\text{ABO} = 90^\text{o}\).

5. Найдем углы треугольника ABO:

• \(\\text{Угол} \\text{ABO} = 90^\text{o}\) (по свойству касательной)
• \(\\text{Угол} \\text{AOB} = 45^\text{o}\) (дано в условии)

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\(\\text{Угол} \\text{BAO} = 180^\text{o} - \\text{Угол} \\text{ABO} - \\text{Угол} \\text{AOB}\)

\(\\text{Угол} \\text{BAO} = 180^\text{o} - 90^\text{o} - 45^\text{o}\)

\(\\text{Угол} \\text{BAO} = 45^\text{o}\)

6. Анализируем треугольник ABO:

Мы видим, что \(\\text{Угол} \\text{AOB} = 45^\text{o}\) и \(\\text{Угол} \\text{BAO} = 45^\text{o}\). Поскольку два угла равны, то треугольник ABO является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны.

Это значит, что сторона, лежащая напротив \(\\text{Угла} \\text{BAO}\) (то есть OB), равна стороне, лежащей напротив \(\\text{Угла} \\text{AOB}\) (то есть AB).

\(OB = AB\)

7. Используем данное значение:

Нам дано, что \(AB = 7\\text{ см}\).

Следовательно, \(OB = 7\\text{ см}\).

8. Вывод:

OB — это радиус окружности.

Ответ: 7 см