7. Какое наименьшее число клеток поля 3 × 2026 надо закрасить, чтобы в любом прямоугольнике из 4 клеток была хотя бы одна закрашенная? Не забудьте доказать, что оно действительно наименьшее.

Прямоугольники из 4 клеток — это блоки 2 × 2. Разобьём 2026 столбцов на 1013 соседних пар. В каждой такой паре клеток прямоугольник, состоящий из верхних двух строк, должен содержать хотя бы одну закрашенную клетку. Эти блоки не пересекаются, поэтому нужно закрасить не менее 1013 клеток.

Достаточно закрасить среднюю клетку каждого нечётного столбца. Тогда в любой паре соседних столбцов один столбец нечётный, и его средняя клетка входит и в верхний, и в нижний блок 2 × 2 этой пары. Следовательно, все прямоугольники из 4 клеток содержат закрашенную клетку.

Ответ: 1013 клеток.