Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7. Катер проплыл 24 км против течения реки и 27 км по озеру, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость…Фото задания

Ответ:

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( v_{катер} \) км/ч. Скорость течения реки \( v_{течения} = 2 \) км/ч.

  1. Скорость катера против течения: \( v_{против} = v_{катер} - v_{течения} = (v_{катер} - 2) \) км/ч.
  2. Скорость катера по озеру (собственная скорость): \( v_{озеро} = v_{катер} \) км/ч.
  3. Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{24}{v_{катер} - 2} \) часа.
  4. Время в пути по озеру: \( t_{озеро} = \frac{S_{озеро}}{v_{озеро}} = \frac{27}{v_{катер}} \) часа.
  5. Общее время в пути равно 3 часа:

    6. \[ t_{против} + t_{озеро} = 3 \]

    \[ \frac{24}{v_{катер} - 2} + \frac{27}{v_{катер}} = 3 \]

  6. Приведем к общему знаменателю \( v_{катер}(v_{катер} - 2) \):

    7. \[ 24v_{катер} + 27(v_{катер} - 2) = 3v_{катер}(v_{катер} - 2) \]

    \[ 24v_{катер} + 27v_{катер} - 54 = 3v_{катер}^2 - 6v_{катер} \]

    \[ 51v_{катер} - 54 = 3v_{катер}^2 - 6v_{катер} \]

  7. Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

    8. \[ 3v_{катер}^2 - 6v_{катер} - 51v_{катер} + 54 = 0 \]

    \[ 3v_{катер}^2 - 57v_{катер} + 54 = 0 \]

  8. Разделим на 3:

    9. \[ v_{катер}^2 - 19v_{катер} + 18 = 0 \]

  9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 361 - 72 = 289 \). \( \sqrt{D} = 17 \).
  10. Найдем корни:

    11. \[ v_{катер1} = \frac{19 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

    \[ v_{катер2} = \frac{19 - 17}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

  11. Проверим полученные значения. Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения (2 км/ч), чтобы катер мог двигаться против течения.

    12. Если \( v_{катер} = 1 \) км/ч, то скорость против течения была бы \( 1 - 2 = -1 \) км/ч, что невозможно. Значит, этот корень не подходит.

    Если \( v_{катер} = 18 \) км/ч, то скорость против течения \( 18 - 2 = 16 \) км/ч. Время против течения \( \frac{24}{16} = 1,5 \) часа. Время по озеру \( \frac{27}{18} = 1,5 \) часа. Общее время \( 1,5 + 1,5 = 3 \) часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 18 км/ч