7. N одинаковых сферических капелек ртути заряжены до одного и того же потенциала φ₀. Каким будет потенциал большой капли, если все капли сольются в одну?

Решение:

1. Сохранение заряда:

   При слиянии капель общий заряд системы сохраняется. Если каждая из N капель имеет заряд q₀, то общий заряд большой капли будет Q = N · q₀.

   Известно, что потенциал сферической капли радиусом r и зарядом q равен: φ = k · q / r, где k — постоянная Кулона.

   Таким образом, для каждой маленькой капли: φ₀ = k · q₀ / r₀, где r₀ — радиус маленькой капли.

2. Соотношение радиуса и объема:

   Объем маленькой капли V₀ = (4/3)πr₀³.

   Объем большой капли V = (4/3)πR³, где R — радиус большой капли.

   Поскольку объемы складываются при слиянии, V = N · V₀.

   (4/3)πR³ = N · (4/3)πr₀³

   R³ = N · r₀³

   R = r₀ · N¹/³

3. Выражение заряда через потенциал и радиус:

   Из формулы потенциала маленькой капли: q₀ = φ₀ · r₀ / k.

4. Расчет потенциала большой капли:

   Потенциал большой капли Φ будет равен: Φ = k · Q / R.

   Подставляем Q = N · q₀ и R = r₀ · N¹/³:

   Φ = k · (N · q₀) / (r₀ · N¹/³)

   Φ = N¹⁻¹/³ · (k · q₀ / r₀)

   Φ = N²/³ · φ₀

Ответ: φ = φ₀ · N²/³