7. На числовой прямой отмечены числа а, b и с (см. рис. 35). Расположите в порядке возрастания числа \(\frac{b}{c}\, \frac{b}{a}\, \frac{a}{c}\, \frac{c}{b}\).

Решение:

Рассмотрим числовую прямую:

• Число \( c \) находится слева от нуля, значит, \( c < 0 \).
• Число \( a \) находится справа от нуля, значит, \( a > 0 \).
• Число \( b \) находится справа от нуля, дальше, чем \( a \), значит, \( b > a > 0 \).

Теперь оценим значения дробей:

• \( \frac{b}{c} \): положительное число делится на отрицательное, результат отрицательный. Так как \( b > 0 \) и \( c < 0 \), то \( \frac{b}{c} < 0 \).
• \( \frac{b}{a} \): оба числа положительные, \( b > a \), значит, \( \frac{b}{a} > 1 \).
• \( \frac{a}{c} \): положительное число делится на отрицательное, результат отрицательный. Так как \( a > 0 \) и \( c < 0 \), то \( \frac{a}{c} < 0 \).
• \( \frac{c}{b} \): отрицательное число делится на положительное, результат отрицательный. Так как \( c < 0 \) и \( b > 0 \), то \( \frac{c}{b} < 0 \).

Сравним отрицательные числа \( \frac{b}{c} \), \( \frac{a}{c} \) и \( \frac{c}{b} \). Для этого подставим примерные значения. Пусть \( c = -1 \), \( a = 2 \), \( b = 4 \).

• \( \frac{b}{c} = \frac{4}{-1} = -4 \)
• \( \frac{a}{c} = \frac{2}{-1} = -2 \)
• \( \frac{c}{b} = \frac{-1}{4} = -0.25 \)

Среди отрицательных чисел наименьшим будет то, у которого модуль больше.

\( -4 < -2 < -0.25 \)

Значит, \( \frac{b}{c} < \frac{a}{c} < \frac{c}{b} \).

Самое большое число — \( \frac{b}{a} \) (оно положительное).

Следовательно, порядок возрастания:

\( \frac{b}{c} < \frac{a}{c} < \frac{c}{b} < \frac{b}{a} \)

Ответ: \(\frac{b}{c}\, \frac{a}{c}\, \frac{c}{b}\, \frac{b}{a}\)