7. На каждом рисунке изображён ромб. Найдите x. На рисунке 7: AO = 8; расстояние от O до стороны BC равно 4; x — угол между диагональю BD и стороной DC.

Пусть F — основание перпендикуляра из O на BC. Тогда OF = 4, а диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(\angle BOC=90^\circ\). Треугольники BOC и BFC подобны: у них общий угол C и прямые углы O и F.

Из подобия \(\frac{OF}{OB}=\frac{BF}{BC}\). Так как O — середина BD, \(BD=2OB\); кроме того, в ромбе \(BC=AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{64+OB^2}\), а высота OF к стороне BC равна \(\frac{AB\cdot BD}{BC}=4\). Поэтому \(\frac{8OB}{\sqrt{64+OB^2}}=4\), откуда \(OB^2=\frac{64}{3}\).

В прямоугольном треугольнике DOC катеты равны \(OD=OB=8/\sqrt3\) и \(OC=AO=8\). Для угла x при D: \(\tan x=OC/OD=\sqrt3\), следовательно, \(x=60^\circ\).

Ответ: 60°.