7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки. Проведите биссектрису угла AFP. Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, F и P, лежит на биссектрисе угла AFP?

Решение:

1. Определим координаты точек:

   Примем точку F за начало координат (0, 0).

   • F = (0, 0)
   • A = (0, 2)
   • P = (-2, 0)
2. Определим угол AFP:

   Угол AFP образован векторами FA и FP. Вектор FA направлен вдоль оси Y вверх, вектор FP направлен вдоль оси X влево. Угол между этими векторами равен 90 градусов.

3. Найдем биссектрису угла AFP:

   Биссектриса угла AFP — это прямая, которая делит угол AFP пополам. Так как угол AFP равен 90°, биссектриса будет образовывать угол 45° с каждой из осей (или 135° с положительным направлением оси X, если рассматривать угол от FP к FA).

   Уравнение прямой, проходящей через начало координат (F) под углом 135° к положительному направлению оси X (направление FP), имеет вид $$y = an(135^ ext{o})x$$.

   $$ an(135^ ext{o}) = -1$$.

   Следовательно, уравнение биссектрисы: $$y = -x$$.

4. Проверим, какие из отмеченных точек лежат на этой прямой:

   У нас есть точки A=(0, 2), B=(2, 2), C=(0, 1), D=(2, 1), E=(-2, -1), G=(1, 0), H=(2, 0), I=(1, -1), K=(-1, 0).

   Проверим каждую точку (кроме A, F, P):

   • B=(2, 2): $$2
     e -2$$. Не лежит.
   • C=(0, 1): $$1
     e -0$$. Не лежит.
   • D=(2, 1): $$1
     e -2$$. Не лежит.
   • E=(-2, -1): $$-1
     e -(-2) = 2$$. Не лежит.
   • G=(1, 0): $$0
     e -1$$. Не лежит.
   • H=(2, 0): $$0
     e -2$$. Не лежит.
   • I=(1, -1): $$-1 = -1$$. Лежит.
   • K=(-1, 0): $$0
     e -(-1) = 1$$. Не лежит.
5. Подсчитаем точки:

   Только точка I=(1, -1) лежит на биссектрисе угла AFP (не считая A, F, P).

Ответ: 1