7. На координатной прямой отмечено число а. Какое из следующих утверждений верно?

Решение:

По координатной прямой видно, что число \( a \) находится между 3 и 4. Следовательно, \( 3 < a < 4 \).

Проверим каждое утверждение:

1. \( (a-5)^2 > 1 \). Так как \( a \) между 3 и 4, то \( a-5 \) будет между \( 3-5 = -2 \) и \( 4-5 = -1 \). Значит \( -2 < a-5 < -1 \). Тогда \( (a-5)^2 \) будет между \( (-1)^2 = 1 \) и \( (-2)^2 = 4 \). Условие \( (a-5)^2 > 1 \) выполняется, так как \( (a-5)^2 \) больше 1 (кроме случая, когда \( a \) близко к 4, тогда \( a-5 \) близко к -1, и \( (a-5)^2 \) близко к 1, но не равно 1, и не больше 1, если \( a=4 \) то \( (4-5)^2 = 1 \)).
2. \( a^2 > 16 \). Так как \( 3 < a < 4 \), то \( a^2 \) будет между \( 3^2 = 9 \) и \( 4^2 = 16 \). Значит \( 9 < a^2 < 16 \). Условие \( a^2 > 16 \) неверно.
3. \( a^2 > 25 \). Так как \( 9 < a^2 < 16 \), то \( a^2 > 25 \) неверно.
4. \( (a-4)^2 > 1 \). Так как \( 3 < a < 4 \), то \( a-4 \) будет между \( 3-4 = -1 \) и \( 4-4 = 0 \). Значит \( -1 < a-4 < 0 \). Тогда \( (a-4)^2 \) будет между \( (-1)^2 = 1 \) и \( 0^2 = 0 \). Значит \( 0 < (a-4)^2 < 1 \). Условие \( (a-4)^2 > 1 \) неверно.

Проверим первое утверждение еще раз. Если \( 3 < a < 4 \), то \( -2 < a-5 < -1 \). Возводим в квадрат: \( 1 < (a-5)^2 < 4 \). Таким образом, \( (a-5)^2 \) всегда больше 1.

Ответ: 1)