7*. На продолжении диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырёхугольник MBND — параллелограмм.

а) По условию AM = CN. В прямоугольнике AD = CB. Углы MAD и NCB равны: каждый образован диагональю AC и стороной прямоугольника, перпендикулярной этой диагонали? Точнее, AM и CN лежат на прямой AC, а AD ⟂ AB и CB ⟂ AB; поскольку AD ∥ CB, углы между AC и AD и между AC и CB равны. Следовательно, треугольники MAD и NCB равны по двум сторонам и углу между ними.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника делятся пополам, поэтому O — середина BD и AC. На прямой M–A–O–C–N отрезки AM и CN равны; поскольку AO = OC, имеем MO = AM + AO = OC + CN = ON. Значит, O — середина MN. В четырёхугольнике MBND диагонали MN и BD пересекаются и делятся пополам в точке O. Следовательно, MBND — параллелограмм.