7. На рисунке изображён ромб ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в O. AO = 8. Расстояние от O до стороны BC равно 4. Найдите x — угол между DB и DC.

Обозначим через H основание перпендикуляра из O на BC. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам; сторона BC образует равные прямоугольные треугольники при вершинах B и C. Поэтому расстояние от O до BC выражается через половины диагоналей:

\(OH = \dfrac{AO · BO}{\sqrt{AO^2 + BO^2}}\). Подставим данные: \(4 = \dfrac{8 · BO}{\sqrt{64 + BO^2}}\).

Возводим в квадрат: \(16(64 + BO^2) = 64BO^2\), откуда \(BO^2 = \dfrac{64}{3}\), значит, \(BO = \dfrac{8}{\sqrt{3}}\).

В прямоугольном треугольнике DOC половины диагоналей — катеты, а угол при D равен x. Следовательно, \(\tan x = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{8}{8/\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), поэтому \(x = 60°\).

Ответ: \(x = 60°\).