7. На вечеринке находятся 20 человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, каждая пара женщин пожимает друг другу руки, а между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Всего было 106 рукопожатий. Найдите произведение a · b.

Число людей: \(a+b=20\). Число рукопожатий среди мужчин и женщин вместе:

\(\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}=106\).

Умножим равенство на 2: \(a^2+b^2-a-b=212\). Так как \(a+b=20\), получаем \(a^2+b^2=232\).

Используем равенство \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\): \(400=232+2ab\), откуда \(ab=84\).

Ответ: 84.