7. Найдите наименьшее значение выражения |6x + 5y + 7| + |2x + 3y + 1| и значения х и у, при которых оно достигается:

Решение:

Выражение имеет вид \( |A| + |B| \). Наименьшее значение суммы модулей достигается, когда оба выражения под модулями равны нулю, то есть \( A = 0 \) и \( B = 0 \).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 6x + 5y + 7 = 0 \\ 2x + 3y + 1 = 0 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \( 2x \):

\[ 2x = -3y - 1 \]

Умножим это уравнение на 3, чтобы получить \( 6x \):

\[ 3(2x) = 3(-3y - 1) \]

\( 6x = -9y - 3 \)

Теперь подставим это выражение для \( 6x \) в первое уравнение:

\[ (-9y - 3) + 5y + 7 = 0 \]

\( -4y + 4 = 0 \)

\[ -4y = -4 \]

\( y = 1 \).

Теперь найдём \( x \), подставив \( y = 1 \) во второе уравнение:

\[ 2x + 3(1) + 1 = 0 \]

\( 2x + 3 + 1 = 0 \)

\[ 2x + 4 = 0 \]

\( 2x = -4 \)

\[ x = -2 \).

Наименьшее значение выражения равно сумме значений под модулями, когда они равны нулю:

\[ |6(-2) + 5(1) + 7| + |2(-2) + 3(1) + 1| = | -12 + 5 + 7 | + | -4 + 3 + 1 | = |0| + |0| = 0 \).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 0. Оно достигается при \( x = -2 \) и \( y = 1 \).