7*. Найдите все двузначные числа \(\overline{ab}\) (a — цифра десятков, b — цифра единиц, b ≠ 0), для которых \(\overline{ab} − a/b = 54\). Ответ обоснуйте.

Запишем двузначное число как \(\overline{ab}=10a+b\). Тогда условие принимает вид \(10a+b-\frac{a}{b}=54\), где a и b — цифры, b ≠ 0.

Так как \(a/b\) — положительное число, \(10a+b>54\), поэтому возможны только a = 5, 6, 7, 8 или 9. Проверим цифры b от 1 до 9 в уравнении \(b-\frac{a}{b}=54-10a\).

При a = 5 правая часть равна 4. Умножив на b, получаем \(b^2-4b-5=0\), откуда b = 5 (корень b = −1 не является цифрой). Тогда \(\overline{ab}=55\), и \(55-\frac{5}{5}=54\).

При a ≥ 6 правая часть не больше −6, тогда как для b ≥ 1 выражение \(b-\frac{a}{b}\) не может удовлетворить равенству: при a = 6 оно не меньше −5, а для больших a проверка цифр b = 1,…,9 также не даёт равенства. Следовательно, других решений нет.

Ответ: 55.