7. Найдите значение выражения √2 cos²5π/8 - √2 sin²5π/8.

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическими формулами. Вынесем общий множитель \( \sqrt{2} \) за скобки, а затем применим формулу косинуса двойного угла.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вынесем общий множитель \( \sqrt{2} \) из выражения: \( \sqrt{2} (\cos^2(5\pi/8) - \sin^2(5\pi/8)) \).
2. Шаг 2: Применим формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = 5\pi/8 \), следовательно, \( 2\alpha = 2 · (5\pi/8) = 5\pi/4 \).
3. Шаг 3: Подставим полученное значение в выражение: \( \sqrt{2} · \cos(5\pi/4) \).
4. Шаг 4: Вычислим значение \( \cos(5\pi/4) \). Угол \( 5\pi/4 \) находится в третьем квадранте, где косинус отрицателен. \( \cos(5\pi/4) = -\cos(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Шаг 5: Подставим значение косинуса обратно в выражение: \( \sqrt{2} · (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{2}{2} = -1 \).

Ответ: -1