8. Материальная точка движется прямолинейно по закону: x(t) = t³/3 - 2t² + 3t - 19, где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 48 м/с?

Краткое пояснение:

Скорость материальной точки является производной от её положения по времени. Для решения задачи необходимо найти производную функции x(t), приравнять её к 48 и решить полученное уравнение относительно t.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдём производную функции x(t), которая выражает скорость v(t): \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} (\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t - 19) \).
2. Шаг 2: Вычислим производную: \( v(t) = \frac{3t^2}{3} - 2 · 2t + 3 - 0 = t^2 - 4t + 3 \).
3. Шаг 3: Приравняем скорость к 48 м/с: \( t^2 - 4t + 3 = 48 \).
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Перенесём 48 в левую часть: \( t^2 - 4t + 3 - 48 = 0 \) \( t^2 - 4t - 45 = 0 \).
5. Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-45) = 16 + 180 = 196 \). \( \sqrt{D} = 14 \).
6. Шаг 6: Найдем значения t: \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2 · 1} = \frac{18}{2} = 9 \). \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2 · 1} = \frac{-10}{2} = -5 \).
7. Шаг 7: Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: 9