7. Найдите значение выражения 4z²-9 / z-3 при z = √2-3.

Решение:

1. Преобразуем числитель: Числитель является разностью квадратов: \( 4z^2 - 9 = (2z)^2 - 3^2 = (2z - 3)(2z + 3) \).
2. Сокращаем дробь:\[ \frac{(2z - 3)(2z + 3)}{z - 3} \]. Это выражение не сокращается напрямую.
3. Заменим z: Подставим \( z = \sqrt{2} - 3 \) в исходное выражение.
4. Вычислим 2z:\[ 2z = 2(\sqrt{2} - 3) = 2\sqrt{2} - 6 \]
5. Вычислим 2z - 3:\[ 2z - 3 = (2\sqrt{2} - 6) - 3 = 2\sqrt{2} - 9 \]
6. Вычислим 2z + 3:\[ 2z + 3 = (2\sqrt{2} - 6) + 3 = 2\sqrt{2} - 3 \]
7. Вычислим z - 3:\[ z - 3 = (\sqrt{2} - 3) - 3 = \sqrt{2} - 6 \]
8. Подставляем в дробь:\[ \frac{(2\sqrt{2} - 9)(2\sqrt{2} - 3)}{\sqrt{2} - 6} \]
9. Раскроем скобки в числителе:\[ (2\sqrt{2} - 9)(2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) - 3(2\sqrt{2}) - 9(2\sqrt{2}) + 27 \]\[ = 4 \times 2 - 6\sqrt{2} - 18\sqrt{2} + 27 \]\[ = 8 - 24\sqrt{2} + 27 \]\[ = 35 - 24\sqrt{2} \]
10. Получаем дробь:\[ \frac{35 - 24\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 6} \]
11. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю \(6 + \sqrt{2}\):\[ \frac{(35 - 24\sqrt{2})(6 + \sqrt{2})}{(\sqrt{2} - 6)(6 + \sqrt{2})} = \frac{210 + 35\sqrt{2} - 144\sqrt{2} - 24(2)}{6\sqrt{2} + 2 - 36 - 6\sqrt{2}} \]\[ = \frac{210 - 109\sqrt{2} - 48}{-34} = \frac{162 - 109\sqrt{2}}{-34} \]\[ = \frac{109\sqrt{2} - 162}{34} \]

Ответ: (109√2 - 162) / 34