7. Найдите значение выражения (a^14 * b^4)^3 / (a * b)^12 при a = 3 и b = sqrt(3).

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Раскроем скобки в числителе:

2. \[ (a^{14} · b^4)^3 = (a^{14})^3 · (b^4)^3 = a^{14 · 3} · b^{4 · 3} = a^{42} · b^{12} \]

3. Раскроем скобки в знаменателе:

4. \[ (a · b)^{12} = a^{12} · b^{12} \]

5. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

6. \[ \frac{a^{42} · b^{12}}{a^{12} · b^{12}} \]

7. Сократим одинаковые множители (b^12):

8. \[ \frac{a^{42}}{a^{12}} \]

9. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием (a^m / a^n = a^(m-n)):

10. \[ a^{42 - 12} = a^{30} \]

11. Теперь подставим значение a = 3:

12. \[ 3^{30} \]

Ответ: 3³⁰