7. Найдите значение выражения \(\sqrt{300}\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sqrt{75}\).

Так как \(\frac{19\pi}{12}=2\pi-\frac{5\pi}{12}\), то \(\cos^2\frac{19\pi}{12}=\cos^2\frac{5\pi}{12}\). При этом \(\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\), поэтому \(\cos^2\frac{5\pi}{12}=\frac{2-\sqrt3}{4}\).

Подставим и упростим:

\(\sqrt{300}\cdot\frac{2-\sqrt3}{4}-\sqrt{75}=10\sqrt3\cdot\frac{2-\sqrt3}{4}-5\sqrt3=5\sqrt3-\frac{15}{2}-5\sqrt3=-\frac{15}{2}\).

Ответ: \(-\frac{15}{2}\).