7. Найти член разложения, не содержащий х: (x + 2)10.

Решение:

Используем формулу бинома Ньютона для разложения \( (a+b)^n \):

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

В нашем случае \( a = x \), \( b = 2 \), \( n = 10 \).

\( (x+2)^{10} = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-k} 2^k \)

Нам нужен член, не содержащий \( x \), то есть когда степень \( x \) равна 0.

\( 10 - k = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k = 10 \).

Подставим \( k = 10 \) в формулу для общего члена:

\( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

\( T_{11} = C_{10}^{10} x^{10-10} 2^{10} = C_{10}^{10} x^0 2^{10} \)

\( C_{10}^{10} = 1 \)

\( x^0 = 1 \)

\( 2^{10} = 1024 \)

Следовательно, член, не содержащий \( x \), равен \( 1 \times 1 \times 1024 = 1024 \).

Ответ: 1024