7. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y = 0 и y = -x^2 + 5x

Решение:

1. Найдем точки пересечения параболы \( y = -x^2 + 5x \) с осью \( Ox \) (где \( y = 0 \)):
• \( -x^2 + 5x = 0 \)
• \( x(-x+5) = 0 \)
• \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 5 \).
2. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \) вычисляется по формуле: \( S = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \).
3. В данном случае \( f(x) = -x^2 + 5x \), \( a = 0 \), \( b = 5 \).
4. Вычислим интеграл:
• \( \int_{0}^{5} (-x^2 + 5x) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{0}^{5} \)
• \( = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{5 \cdot 5^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} \right) \)
• \( = \left( -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} \right) - 0 \)
• \( = 125 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 125 \left( \frac{3-2}{6} \right) = \frac{125}{6} \).
5. Так как парабола \( y = -x^2 + 5x \) направлена ветвями вниз, а точки пересечения с осью \( Ox \) находятся на отрезке \( [0, 5] \), значение интеграла будет положительным, поэтому площадь равна \( \frac{125}{6} \).

Ответ: \( \frac{125}{6} \).