8. Найти значение производной функции f(x) = x³ ln x при x = 4

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 \ln x \) используя правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^3 \) и \( v = \ln x \).
2. Найдем производные \( u \) и \( v \):
• \( u' = (x^3)' = 3x^2 \)
• \( v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
3. Подставим найденные производные в формулу:
• \( f'(x) = (x^3)' \ln x + x^3 (\ln x)' \)
• \( f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} \)
• \( f'(x) = 3x^2 \ln x + x^2 \)
4. Теперь найдем значение производной при \( x = 4 \):
• \( f'(4) = 3(4^2) \ln 4 + 4^2 \)
• \( f'(4) = 3(16) \ln 4 + 16 \)
• \( f'(4) = 48 \ln 4 + 16 \)
• \( f'(4) = 48 \ln (2^2) + 16 \)
• \( f'(4) = 48 \cdot 2 \ln 2 + 16 \)
• \( f'(4) = 96 \ln 2 + 16 \)

Ответ: \( 96 \ln 2 + 16 \).