9. Найти косинус угла между векторами AB и AC если координаты точек A (4; 3; -2), B (-3; -1; 4), C (2; 2; 1).

Решение:

1. Найдем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). Для этого вычтем координаты точки А из соответствующих координат точек B и C.
• \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-3 - 4; -1 - 3; 4 - (-2)) = (-7; -4; 6) \)
• \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (2 - 4; 2 - 3; 1 - (-2)) = (-2; -1; 3) \)
2. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
• \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-7)(-2) + (-4)(-1) + (6)(3) \)
• \( = 14 + 4 + 18 = 36 \)
3. Найдем длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
• \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 16 + 36} = \sqrt{101} \)
• \( |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \)
4. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \( \cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \).
5. Подставим найденные значения:
• \( \cos \alpha = \frac{36}{\sqrt{101} \cdot \sqrt{14}} = \frac{36}{\sqrt{1414}} \)

Ответ: \( \frac{36}{\sqrt{1414}} \).