7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 450, высота конуса равна 3\(\sqrt{2}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: \( S_{бок} = \pi R l \), где \( R \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

Дано: угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \), высота \( H = 3\sqrt{2} \) см.

1. Найдем радиус основания и образующую конуса:
   Образующая \( l \), высота \( H \) и радиус основания \( R \) образуют прямоугольный треугольник, где угол при основании равен \( 45^{\circ} \).
   Так как один из острых углов равен \( 45^{\circ} \), то этот треугольник является равнобедренным прямоугольным. Следовательно, \( R = H \).
   \( R = 3\sqrt{2} \) см.
   Найдем образующую по теореме Пифагора: \( l^2 = R^2 + H^2 \)
   \( l^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 2) + (9 \cdot 2) = 18 + 18 = 36 \)
   \( l = \sqrt{36} = 6 \) см.
2. Найдем площадь боковой поверхности конуса:
   \( S_{бок} = \pi R l \)
   \( S_{бок} = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 \)
   \( S_{бок} = 18\sqrt{2}\pi \) см².

Ответ: 18\(\sqrt{2}\)\(\pi\) см²