8. В цилиндре на расстоянии 8 см от его оси и параллельно ей проведено сечение, диагональ которого равна 13 см. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота равна 5 см.

Задание 8. Радиус основания цилиндра

Дано:

• Расстояние от оси цилиндра до сечения \( d = 8 \) см.
• Диагональ сечения \( D_{сеч} = 13 \) см.
• Высота цилиндра \( h = 5 \) см.

Найти: Радиус основания цилиндра \( R \).

Решение:

1. Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Его диагональ \( D_{сеч} \), высота цилиндра \( h \) и хорда основания \( c \) связаны соотношением: \[ D_{сеч}^2 = h^2 + c^2 \].
2. Найдем длину хорды \( c \): \[ 13^2 = 5^2 + c^2 \] \[ 169 = 25 + c^2 \] \[ c^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ c = \sqrt{144} = 12 \] см.
3. Хорда \( c \) основания цилиндра связана с радиусом основания \( R \) и расстоянием от оси до хорды \( d \) соотношением (из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и расстоянием от оси): \[ R^2 = (\frac{c}{2})^2 + d^2 \].
4. Подставим известные значения: \( c = 12 \) см, \( d = 8 \) см.
5. \[ R^2 = (\frac{12}{2})^2 + 8^2 \] \[ R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \].
6. \[ R = \sqrt{100} = 10 \] см.

Ответ: 10 см.