7. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Расположим трапецию так, чтобы большее основание было нижним. Разность оснований равна 10 − 8 = 2 см; из-за равнобокости горизонтальный отступ каждой боковой стороны равен 1 см.

Пусть высота трапеции равна h. Тогда боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и h, а диагональ, которая делит острый угол пополам, образует прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом 9 и вертикальным катетом h.

Обозначим острый угол через θ. Из условия биссектрисы tan(θ/2) = h/9, а по боковому прямоугольному треугольнику tan θ = h. Используя формулу tan θ = 2tan(θ/2)/(1 − tan²(θ/2)), получаем h = 2(h/9)/(1 − h²/81). Так как h > 0, отсюда h² = 63.

Длина боковой стороны равна √(1² + h²) = √64 = 8 см. Поэтому периметр равен 8 + 10 + 8 + 8 = 34 см.

Ответ: 34 см.