№7. Отметьте на координатной плоскости точки А(4; -6); B(-1; 9); C(-3; -1) и D(3; 5). Проведите прямые АВ и CD. Найдите координаты точки пересечения:

Решение:

1. Найдём уравнение прямой AB.

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки A(4; -6): \( -6 = 4k + b \) (1)

Подставим координаты точки B(-1; 9): \( 9 = -k + b \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( 9 - (-6) = (-k + b) - (4k + b) \)

\( 15 = -k + b - 4k - b \)

\( 15 = -5k \)

\( k = -3 \)

Подставим \( k = -3 \) в уравнение (2):

\( 9 = -(-3) + b \)

\( 9 = 3 + b \)

\( b = 6 \)

Уравнение прямой AB: \( y = -3x + 6 \).

2. Найдём уравнение прямой CD.

Подставим координаты точки C(-3; -1): \( -1 = -3k + b \) (3)

Подставим координаты точки D(3; 5): \( 5 = 3k + b \) (4)

Сложим уравнения (3) и (4):

\( -1 + 5 = (-3k + b) + (3k + b) \)

\( 4 = 2b \)

\( b = 2 \)

Подставим \( b = 2 \) в уравнение (4):

\( 5 = 3k + 2 \)

\( 3k = 3 \)

\( k = 1 \)

Уравнение прямой CD: \( y = x + 2 \).

3. Найдем координаты точки пересечения прямых AB и CD.

Приравняем уравнения прямых:

\( -3x + 6 = x + 2 \)

\( 6 - 2 = x + 3x \)

\( 4 = 4x \)

\( x = 1 \)

Подставим \( x = 1 \) в уравнение прямой CD: \( y = 1 + 2 = 3 \).

Координаты точки пересечения прямых AB и CD: (1; 3).

4. Найдем точку пересечения прямой AB с осью абсцисс.

Ось абсцисс — это ось \( Ox \), где \( y = 0 \).

Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой AB: \( 0 = -3x + 6 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Точка пересечения прямой AB с осью абсцисс: (2; 0).

5. Найдем точку пересечения прямой CD с осью ординат.

Ось ординат — это ось \( Oy \), где \( x = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой CD: \( y = 0 + 2 \)

\( y = 2 \)

Точка пересечения прямой CD с осью ординат: (0; 2).

Ответ: а) прямых АВ и CD: (1; 3); б) прямой АВ с осью абсцисс: (2; 0); в) прямой CD с осью ординат: (0; 2).