№7. Отметьте на координатной плоскости точки А(4; -6); B(-1; 9); С(-3; -1) и D(3; 5). Проведите прямые АB и CD. Найдите координаты точки пересечения:

Решение:

Для начала найдём уравнения прямых AB и CD.

1. Уравнение прямой AB:

Точки: \( A(4, -6) \) и \( B(-1, 9) \).

Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - (-6)}{-1 - 4} = \frac{9 + 6}{-5} = \frac{15}{-5} = -3 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку \( A(4, -6) \):

\( y - (-6) = -3(x - 4) \)

\( y + 6 = -3x + 12 \)

\( y = -3x + 12 - 6 \)

\( y = -3x + 6 \)

2. Уравнение прямой CD:

Точки: \( C(-3, -1) \) и \( D(3, 5) \).

Угловой коэффициент \( k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{5 + 1}{3 + 3} = \frac{6}{6} = 1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку \( D(3, 5) \):

\( y - 5 = 1(x - 3) \)

\( y - 5 = x - 3 \)

\( y = x - 3 + 5 \)

\( y = x + 2 \)

3. Найдём точку пересечения прямых AB и CD:

Приравняем уравнения прямых:

\( -3x + 6 = x + 2 \)

\( 6 - 2 = x + 3x \)

\( 4 = 4x \)

\( x = 1 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 1 \) в любое из уравнений, например, \( y = x + 2 \):

\( y = 1 + 2 \)

\( y = 3 \)

Точка пересечения прямых AB и CD: \( (1, 3) \).

4. Прямая AB с осью абсцисс (ось OX):

На оси абсцисс \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой AB: \( y = -3x + 6 \)

\( 0 = -3x + 6 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Точка пересечения прямой AB с осью абсцисс: \( (2, 0) \).

5. Прямая CD с осью ординат (ось OY):

На оси ординат \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой CD: \( y = x + 2 \)

\( y = 0 + 2 \)

\( y = 2 \)

Точка пересечения прямой CD с осью ординат: \( (0, 2) \).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и CD: (1; 3). Координаты точки пересечения прямой AB с осью абсцисс: (2; 0). Координаты точки пересечения прямой CD с осью ординат: (0; 2).