7. Площадь четырехугольника ABCD.

Решение:

На чертеже изображен треугольник ABD, который является частью четырехугольника. Треугольник ABD имеет основание AD и высоту, проведенную из B к AD. Угол ADB = 45°. Треугольник ABE имеет угол ABE = 60° и гипотенузу AB. Треугольник BDE прямоугольный, с углом BDE = 45°, что означает, что он равнобедренный. Таким образом, BE = ED. В условии дано BE = \( 7\sqrt{3} \). Значит, ED = \( 7\sqrt{3} \).

В треугольнике ABE, угол BAE = 90° - 60° = 30°. Следовательно, AB = 2 * BE = \( 2 \times 7\[ \sqrt{3} \] \) = \( 14\[ \sqrt{3} \] \).

Сторона AE = BE * \( \sqrt{3} \) = \( 7\[ \sqrt{3} \] \times \sqrt{3} \) = \( 7 \times 3 = 21 \).

AD = AE + ED = \( 21 + 7\[ \sqrt{3} \] \).

Площадь параллелограмма ABCD = Основание AD * Высота BE = \( (21 + 7\[ \sqrt{3} \]) \times 7\[ \sqrt{3} \] \).

Это решение не соответствует чертежу, где ABCD — параллелограмм. Переосмыслим задачу.

На чертеже ABCD — параллелограмм. Диагональ AC. Высота BE к стороне AD. Треугольник ABE прямоугольный. Угол BAE = 60°. Это невозможно, если ABCD - параллелограмм, так как углы параллелограмма не равны 90 градусов, кроме случая прямоугольника. Угол при основании AD, судя по рисунку, острый. Рассмотрим треугольник BDE. Угол BDE = 45°. Это значит, что треугольник BDE прямоугольный и равнобедренный, BE = ED. Если BE = \( 7\sqrt{3} \), то ED = \( 7\sqrt{3} \).

В треугольнике ABE, угол AEB = 90°, угол BAE = 60°. Тогда угол ABE = 30°. Следовательно, AE = BE / \( \tan(60^\circ) \) = \( 7\sqrt{3} / \sqrt{3} = 7 \).

AD = AE + ED = \( 7 + 7\sqrt{3} \).

Площадь параллелограмма = основание * высота = AD * BE = \( (7 + 7\sqrt{3}) \times 7\sqrt{3} \) = \( 49\sqrt{3} + 49 \times 3 \) = \( 49\sqrt{3} + 147 \).

Ответ: \( 147 + 49\sqrt{3} \).