7. Плоскость α пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках M и N соответственно, причём AM:MB = AN:NC = 1:2. Докажите, что прямая BC параллельна плоскости α.

1. По условию точки M и N делят стороны в одинаковом отношении: AM/AB = AN/AC = 1/3, поскольку AB = AM + MB и AC = AN + NC.

2. По обратной теореме Фалеса MN ∥ BC.

3. Прямая MN лежит в плоскости α, а BC лежит в плоскости ABC. Эти плоскости различны: α пересекает плоскость ABC по MN, тогда как BC параллельна MN и не пересекает её. Следовательно, BC не пересекает α и параллельна прямой MN, лежащей в α.

Ответ: BC ∥ α.