9. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (BDC₁). Ответ обоснуйте.

Пусть ребро куба равно a. Выберем координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), C₁(a,a,a). Плоскость (ABC) имеет уравнение z = 0.

В плоскости (BDC₁) лежат векторы DB = (a,−a,0) и DC₁ = (a,0,a). Их векторное произведение пропорционально нормали (1,1,−1), поэтому уравнение этой плоскости: x + y − z = a.

Нормаль к (ABC) — (0,0,1). Острый угол φ между плоскостями равен острому углу между нормалями:

cos φ = |(0,0,1) · (1,1,−1)| / (1 · √3) = 1/√3.

Ответ: φ = arccos(1/√3) ≈ 54,7°.